جلسه 22 1 نامساویهایی در مورد اثر ماتریس ها تي وري اطلاعات کوانتومی ترم پاییز

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "جلسه 22 1 نامساویهایی در مورد اثر ماتریس ها تي وري اطلاعات کوانتومی ترم پاییز"

Φωτινή Κορωναίος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 تي وري اطلاعات کوانتومی ترم پاییز مدرس: ابوالفتح بیگی و امین زاده گوهري نویسنده: محمد مهدي مجاهدیان جلسه 22 تا اینجا خواص مربوط به آنتروپی را بیان کردیم. جهت اثبات این خواص نیاز به ابزارهایی داریم که در اینجا بیان می کنیم. در این جلسه از + R براي اشاره به اعداد حقیقی نامنفی (شامل صفر) استفاده می کنیم. یادآوري می کنیم که براي هر ماتریس هرمیتی A و تابع دلخواه f : R R عملگر f(a) این گونه تعریف می شود: اگر A = λ v v قطري شدن A در یک پایه متعامد یکه باشد آنگاه قرار می دهیم f(a) = f(λ ) v v. همچنین نامساوي جنسن 1 را نیز یادآوري می کنیم: n باشد داریم: نامساوي جنسن: اگر f : R R تابعی محدب و 0 =1 p = 1 p ( n n ) p f(x ) f p x. =1 =1 1 نامساویهایی در مورد اثر ماتریس ها قضیه 1 نامساوي کلین : 2 اگر f : R R تابعی محدب باشد و A و B عملگرهاي هرمیتی باشند داریم: tr[f(a) f(b)] tr[(a B)f (B)] (1) بعلاوه اگر f اکیدا محدب باشد تساوي تنها زمانی برقرار است که A = B باشد. اثبات: ابتدا حالت خاصی که ماتریس هاي A و B یک بعدي (یعنی یک عدد باشند) را در نظر بگیرید. آنوقت رابطه بالا را می توان به شکل زیر نوشت: اما با استفاده از قضیه مقدار میانگین داریم: 1 Jensen nequalty 2 Klen nequalty f(a) f(b) (a b)f (b). f(a) f(b) (a b) f (η), η [a, b] (2) 1

2 (a b) f (η) (a b)f (b). پس باید ثابت کنیم که دو حالت در نظر می گیریم: a b و a. < b در حالت اول باید نشان دهیم (b) f (η) f که بدلیل اینکه (t) f تابعی صعودي است برقرار می باشد. اثبات حالت دوم مشابه است. حال حالت ماتریسی نامساوي را در نظر می گیریم. فرض کنید A = B = j λ v v γ j ω j ω j در این صورت f(a) = f(b) = j f (B) = j Bf (B) = j f(λ ) v v, f(γ j ) ω j ω j, f (γ j ) ω j ω j, γ j f (γ j ) ω j ω j. در نتیجه tr[f(a) f(b)] = tr[f(a)] tr[f(b)] = f(λ ) j f(γ j ) و همچنین داریم: tr[(a B)f (B)] = tr[af (B)] tr[bf (B)] = tr[af (B)] j γ j f (γ j ). جهت محاسبه [(B) tr[af داریم: 2

3 tr[af (B)] = tr [( λ v v )( f (γ j ) ω j ω j )] = tr [ λ f (γ j ) v v ω j ω j ] =,j,j λ f (γ j )tr [ v v ω j ω j ] j =,j =,j λ f (γ j )tr [ v ω j ω j v ] λ f (γ j ) v ω j 2 اما توجه کنید که از متعامد یکه بودن پایه هاي { v } و { j ω } نتیجه می شود: 3 v ω j 2 = 1, j; v ω j 2 = 1,. j بنابراین tr[f(a) f(b)] = [f(λ ) f(γ j )] =,j [f(λ ) v ω j 2 f(γ j ) v ω j 2 ] =,j v ω j 2 [f(λ ) f(γ j )]. به طور مشابه tr[bf (B)] = =,j γ j f (γ j ). γ j f (γ j ) v ω j 2. v ω j 2 [f(λ ) f(γ j )],j,j v ω j 2 [λ f (γ j ) γ j f (γ j )] بنابراین کافی است ثابت کنیم v ω j 2 = 3 این رابطه درست است زیرا v ω j ω j v = tr[ v ω j ω j v ] = tr[ v v ω j ω j ] = tr( [ v v ] ω j ω j ) = tr(i ω j ω j ) = 1. 3

4 ,j ] v ω j [f(λ 2 ) f(γ j ) (λ γ j )f (γ j ) 0 یا به عبارت دیگر که نامساوي اي درست است زیرا عبارت داخل پرانتز نامنفی است (این همان حالت اسکالر نامساوي است). قضیه 2 نامساوي پیرل : 4 اگر f تابعی محدب باشد و A عملگر هرمیتی باشد داریم: براي هر بردار e به طول واحد e f(a) e f( e A e ). (3) tr[f(a)] براي هر پایه متعامد یکه { e } n f( e A e ). (4) =1 اثبات: کافی است که قسمت اول قضیه را ثابت کنیم زیرا قسمت اول قسمت دوم را نتیجه می دهد: n n tr[f(a)] = e f(a) e f( e A e ). =1 =1 براي اثبات قسمت اول با توجه به هرمیتی بودن A داریم: A = λ v v f(a) = f(λ ) v v. در نتیجه e f(a) e = e f(λ ) v v e = = f(λ ) e v v e f(λ ) e v 2. از طرفی با استدلال مشابهی که در زیرنویس 3 داشتیم داریم: = 1 2 e v. حال با استفاده از نامساوي جنسن: f(λ ) e v 2 f( λ e v 2 ) =f( λ e v v e ) =f( e [ λ v v ] e ) =f( e A e ). 4 Peerl nequalty 4

5 2 نامساوي هاي عملگري در اینجا به معرفی توابع عملگر صعودي 5 و توابع عملگر محدب 6 می پردازیم. تعریف 3 تابع f : R + R را عملگر صعودي گویند هرگاه براي هر دو عملگر مثبت نیمه معین A و B رابطه زیر برقرار باشد: A B f(a) f(b). در رابطه بالا A B بدین معنی است که عملگر B A مثبت نیمه معین است. توجه کنید که دامنه تابع f اعداد حقیقی نامنفی است و آن را روي ماتریس هاي مثبت نیمه معین B A اعمال کرده ایم. تعریف 4 تابع f : R + R را عملگر محدب گویند هرگاه براي هر دو عملگر A و B رابطه زیر برقرار باشد: f(pa + (1 p)b) pf(a) + (1 p)f(b), p [0, 1], و تابع f را عملگر مقعر گویند هرگاه تابع f عملگر محدب باشد. توجه: دقت کنید که توابع عملگر صعودي همواره یکنوا هستند اما برعکس آن لزوما برقرار نیست. بدین معنی که ممکن است تابعی یکنوا باشد اما عملگر صعودي نباشد. یکی از این توابع تابع f(t) = t 2 است. همچنین تابع f(t) = e t که هم یکنوا است و هم محدب اما نه عملگر صعودي است نه عملگر محدب. خواص توابع عملگر صعودي: 1. اگر f(t) عملگر صعودي باشد آنگاه براي 0 c h(t) = f(t) + c نیز عملگر صعودي است. این خاصیت برقرار است زیرا h(a) = f(a) + ci, h(b) = f(b) + ci که I عملگر همانی است. A B f(a) f(b) f(a) + ci f(b) + ci h(a) h(b) 2. اگر f(t) عملگر صعودي باشد آنگاه براي 0 c h(t) = f(t) + ct نیز عملگر صعودي است. این خاصیت برقرار است زیرا. h(a) = f(a) + ca, h(b) = f(b) + cb.3 اگر g(t) f(t), توابعی عملگر صعودي باشد و 0 β α, آنگاه βg(t) h(t) = αf(t) + نیز عملگر صعودي است. این خاصیت نتیجه می دهد که مجموعه توابع عملگر صعودي یک مخروط 7 در فضاي توابع تشکیل می دهد. mt 1 f(t) = براي هر 0 m نیز عملگر صعودي است. در نتیجه با استفاده از خاصیت m+t می توان نشان داد که تابع آخر می توان ترکیب خطی توابع بالا به ازاي m -هاي مختلف را هم در نظر گرفت. نکته ي جالب اینکه هر تابع عملگر صعودي حتما قابل بیان به صورت ترکیب خطی توابع بالا و توابع ثابت و خطی است. البته چون تعداد این توابع بینهایت است بجاي ترکیب خطی از انتگرال وزن دار در محاسبه ترکیب خطی استفاده می شود. 5 Operator monotone 6 Operator convex 7 Cone 5

6 عملگر صعودي عملگر محدب a + bt, a R, b 0 a + bt + ct 2, a, b R, c 0 t p, p [0, 1] t p, p [1, 2] t p, p [ 1, 0] t p, p [ 1, 0] log t log t t log t t log t t 1 t t+m, m 0 t 2 t+m, m, tan t, t ( π 2, π 2 ) عملگر صعودي f : R+ R + 1 اگر f(t) جدول 1: تعدادي از توابع عملگر صعودي و عملگر محدب قضیه 5 (قضیه لونر) 8 تابع f : R + R عملگر صعودي است اگر و تنها اگر وجود داشته باشند تابع نامنفی µ(m) mt 1 f(t) = c + dt + 0 m + t µ(m)dm. و اعداد 0 d و c R به طوري که مشابها قضیه زیر را در مورد توابع عملگر محدب داریم: قضیه 6 تابع f : R + R عملگر محدب است اگر و تنها اگر وجود داشته باشند تابع نامنفی µ(m) و اعداد 0 e و f(t) = c + dt + et 2 mt m + t µ(m)dm. c, d R به طوري که از روي ف رم انتگرالی توابع عملگر صعودي و عملگر محدب به نظر می رسد رابطه اي بین این دو نوع تابع وجود دارد. قضیه 7 در صورتی که برد تابع f اعداد حقیقی نامنفی باشد ) + R f) : R + تابع f عملگر مقعر است اگر و تنها اگر عملگر صعودي باشد. یعنی مجموعه توابع عملگر مقعر و صعودي با برد اعداد حقیقی نامنفی یکسان هستند. بصورت خاص تابع ln(t) f(t) = و ln(t) f(t) = t توابعی عملگر محدب هستند که این تابع آخر در نظریه اطلاعات کوانتمی کاربرد زیادي دارد. در جدول 1 تعدادي از توابع عملگر صعودي و عملگر محدب لیست شده اند. 8 Löwner s theorem 6

Σχετικά έγγραφα

جلسه 2 1 فضاي برداري محاسبات کوانتمی (22671) ترم بهار

جلسه 2 1 فضاي برداري محاسبات کوانتمی (22671) ترم بهار محاسبات کوانتمی (22671) ترم بهار 1390-1391 مدرس: سلمان ابوالفتح بیگی نویسنده: نادر قاسمی جلسه 2 در این درسنامه به مروري کلی از جبر خطی می پردازیم که هدف اصلی آن آشنایی با نماد گذاري دیراك 1 و مباحثی از